数组染色：探索偶和之谜

后端

2024-01-23 19:51:26

在数字王国中探索数组染色谜团

在数字的浩瀚海洋中，有一项有趣的挑战等待着我们：数组染色。想象你得到了一份神秘的数组，里面包含一组数字，你的任务是选择其中至少两个数字，并将它们染成红色，但前提是，任何两个被染成红色的数字之和都必须是偶数。

偶数的奥秘

踏上我们的逻辑之旅之前，让我们先明确什么是偶数。偶数是指可以被 2 整除的整数。因此，两个数字之和是偶数意味着这两个数字都是偶数或都是奇数。

数组的划分

现在，让我们将目光投向数组。数组中的每个数字要么是偶数，要么是奇数。根据前面的推论，我们可以将偶数和奇数分为两组。如果我们从每组中选择一个数字进行染色，那么它们的和一定是偶数，因为偶数和奇数的和是奇数，奇数和奇数的和是偶数。

染色方案的分类

进一步分析，如果我们只从偶数组中选择数字进行染色，那么任意两个被染成的数字之和也是偶数。同理，如果我们只从奇数组中选择数字进行染色，任意两个被染成的数字之和也是偶数。

因此，我们可以将染色方案分为两类：

从偶数组中选择数字进行染色
从奇数组中选择数字进行染色

对于第一类方案，我们有 C(m, 2) 种选择，其中 m 是偶数组中的数字个数。对于第二类方案，我们有 C(n-m, 2) 种选择，其中 n-m 是奇数组中的数字个数。

因此，染色方案的总数为 C(m, 2) + C(n-m, 2)。

代码示例

让我们用 Python 代码来实现这个算法：

def count_coloring_schemes(arr):
    """
    计算满足任意两个被染成红色数字之和为偶数的染色方案总数。

    Args:
        arr (list): 数组。

    Returns:
        int: 染色方案总数。
    """
    even_count = 0  # 偶数的个数
    for num in arr:
        even_count += (num % 2 == 0)

    odd_count = len(arr) - even_count  # 奇数的个数

    # 计算染色方案总数
    total_schemes = choose(even_count, 2) + choose(odd_count, 2)

    return total_schemes

def choose(n, k):
    """
    计算组合数 C(n, k)。

    Args:
        n (int): 总数。
        k (int): 选择数。

    Returns:
        int: 组合数。
    """
    if k < 0 or k > n:
        return 0

    numerator = 1
    denominator = 1
    for i in range(1, k + 1):
        numerator *= n - i + 1
        denominator *= i

    return numerator // denominator