利用矩阵 SVD 分解，无须指定顺序的直线、平面拟合办法
2024-01-16 08:14:00
在平面相关问题中，我们通常会用到将多个点拟合成一个平面的算法，但要注意点存在顺序。有没有办法拟合一组无顺序的点呢？或把一组点拟合成一条直线？当然可以，最小二乘法就可以解决这些问题。然而，在 3D 中直接使用最小二乘法是非常不方便的。因此常见的方法是，用投影方式，把点投影到两个平面，再用最小二乘法拟合平面，得到两个平面的方程，再用交线求直线方程。但是这样就需要经过多次方程组求解的步骤，非常麻烦。
本文将介绍矩阵 SVD 分解在直线和平面拟合中的应用。它能无须指定顺序地拟合给定点，使拟合直线或平面与所有点尽量接近，满足最小二乘法的要求。它是一种有效的算法，能保证所得直线或平面的拟合效果非常好。
- 矩阵 SVD 分解
在开始拟合之前，我们需要先了解矩阵 SVD 分解。矩阵 SVD 分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即：
A = UΣVT
其中，U 和 V 是正交矩阵，Σ 是一个对角矩阵，对角元素是 A 的奇异值。
- 直线拟合
假设我们有 n 个点，记为 P1，P2，…，Pn。我们要用一条直线拟合这些点，直线方程为：
x = at + b
其中，a 和 b 是直线上的两个参数。
我们可以将这些点表示为一个矩阵：
P = [P1, P2, ..., Pn]
并将直线方程表示为：
L = [t, 1]
则有：
P = L[a, b]
我们希望找到 a 和 b，使得 P 与 L[a, b] 尽量接近。这可以通过最小二乘法来实现。最小二乘法的目标是找到 a 和 b，使得：
||P - L[a, b]||^2
最小。
我们可以将上式写成：
||P - [t, 1][a, b]||^2
= ||P - [ta + b, a + b]||^2
= ||[P1 - (ta1 + b), P2 - (ta2 + b), ..., Pn - (tan + b)]||^2
为了使上式最小，我们可以对 a 和 b 求导，并令导数为 0。这样，我们可以得到一个方程组：
Σ[Pi - (tai + b)] = 0
Σ(Pi - tai - b) = 0
这个方程组有 n 个方程和 2 个未知数，我们可以用高斯消元法求解。
- 平面拟合
平面拟合与直线拟合类似。假设我们有 n 个点，记为 P1，P2，…，Pn。我们要用一个平面拟合这些点，平面方程为：
ax + by + cz + d = 0
其中，a、b、c 和 d 是平面的四个参数。
我们可以将这些点表示为一个矩阵：
P = [P1, P2, ..., Pn]
并将平面方程表示为：
H = [x, y, z, 1]
则有：
P = H[a, b, c, d]
我们希望找到 a、b、c 和 d，使得 P 与 H[a, b, c, d] 尽量接近。这可以通过最小二乘法来实现。最小二乘法的目标是找到 a、b、c 和 d，使得：
||P - H[a, b, c, d]||^2
最小。
我们可以将上式写成：
||P - [xa + yb + zc + d, xa + yb + zc + d, ..., xa + yb + zc + d]||^2
= ||[P1 - (xa1 + yb1 + zc1 + d), P2 - (xa2 + yb2 + zc2 + d), ..., Pn - (xan + ybn + zcn + d)]||^2
为了使上式最小，我们可以对 a、b、c 和 d 求导，并令导数为 0。这样，我们可以得到一个方程组：
Σ[Pi - (xai + ybi + zci + d)] = 0
Σ(Pi - xai - ybi - zci - d) = 0
这个方程组有 n 个方程和 4 个未知数，我们可以用高斯消元法求解。
- 代码示例
以下是一个用 Python 实现的矩阵 SVD 分解直线拟合的代码示例：
import numpy as np
def svd_line_fit(points):
"""
用矩阵 SVD 分解拟合直线。
参数：
points: 一个包含 n 个点的矩阵，每个点是一个 2 维向量。
返回：
a 和 b，分别是直线方程 y = ax + b 中的 a 和 b。
"""
# 将点表示为一个矩阵
P = np.array(points)
# 计算 P 的 SVD 分解
U, S, Vh = np.linalg.svd(P)
# 取出 Vh 的第一列
v1 = Vh[:, 0]
# a 和 b 是 v1 的前两个元素
a = v1[0]
b = v1[1]
return a, b
以下是一个用 Python 实现的矩阵 SVD 分解平面拟合的代码示例：
import numpy as np
def svd_plane_fit(points):
"""
用矩阵 SVD 分解拟合平面。
参数：
points: 一个包含 n 个点的矩阵，每个点是一个 3 维向量。
返回：
a、b、c 和 d，分别是平面方程 ax + by + cz + d = 0 中的 a、b、c 和 d。
"""
将点表示为一个矩阵
P = np.array(points)
计算 P 的 SVD 分解
U, S, Vh = np.linalg.svd(P)
取出 Vh 的第一列
v1 = Vh[:, 0]
a、b、c 和 d 是 v1 的前四个元素
a = v1[0]
b = v1[1]
c = v1[2]
d = v1[3]
return a, b, c, d
5. **总结**
矩阵 SVD 分解是一种非常有效的直线和平面拟合算法。它不需要指定点的顺序，并且能够保证拟合效果非常好。在实际应用中，矩阵 SVD 分解经常被用来拟合图像中的直线和平面，以及拟合三维空间中的点云。
